Hàm số bậc 2: Lý thuyết, cách vẽ đồ thị và dạng toán thường gặp

Hàm số bậc 2: Lý thuyết, cách vẽ đồ thị và dạng toán thường gặp

Hình Ảnh về: Hàm số bậc 2: Lý thuyết, cách vẽ đồ thị và dạng toán thường gặp

Video về: Hàm số bậc 2: Lý thuyết, cách vẽ đồ thị và dạng toán thường gặp

Wiki về Hàm số bậc 2: Lý thuyết, cách vẽ đồ thị và dạng toán thường gặp

Hàm số bậc 2: Lý thuyết, cách vẽ đồ thị và dạng toán thường gặp –

Lý thuyết hàm số bậc hai

1. Khái niệm

Hàm số bậc hai được cho bởi công thức y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Tập xác định của hàm số này là D = ℝ.

2. Đồ thị

Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)là một đường parabol có đỉnh là điểm

, có trục đối xứng là đường thẳng . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai.

+) Xác định tọa độ của đỉnh

+) Vẽ trục đối xứng

+) Lập bảng trị giá

Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) cắt trục tung tại điểm (0; c).

Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) cắt trục hoành (nếu có) tại điểm có tọa độ (x; 0) với x là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0.

+) Vẽ Parabol

Lúc vẽ cần chú ý tới dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới).

3. Sự biến thiên

Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), Ta có: bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau

+) Với a > 0

+) Với a < 0

Từ đó ta có định lí sau:

Định lí 1.

Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c nghịch biến trên khoảng

, đồng biến trên khoảng

Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c đồng biến trên khoảng

, nghịch biến trên khoảng

4. Phương trình hoành độ giao điểm

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2).

Lúc đó, nếu M(x; y) là giao điểm của (C1) và (C2) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). Và nếu giao điểm M có mang những đặc điểm, tính chất nào đó thì phương trình (*) cũng sẽ tồn tại những đặc điểm tương ứng với các đặc tính đó. Từ đây suy ra, để giải một bài toán về tính chất giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2), Ta có: thể thực hiện theo các bước sau:

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) (tức là phương trình (*)).

+) Chuyển đổi phương trình về dạng bậc hai đơn giản.

+) Dựa vào điều kiện thuở đầu của bài toán để chuyển về điều kiện cho phương trình hoành độ giao điểm.

Định lý Vi-ét: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

+) Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 và x2 thì ta có:

+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu lúc và chỉ lúc P < 0.

+) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt lúc và chỉ lúc:

+) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt lúc và chỉ lúc:

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác x lúc và chỉ lúc:

5. Công thức

Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm

Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) cắt trục tung tại điểm (0; c) (lấy x = 0 thế vào hàm số).

Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) cắt trục hoành (nếu có) tại điểm có tọa độ (x; 0) với x là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1). Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai

Phương pháp giải

Vẽ đồ thị của hàm số bậc hai ta thực hiện theo bốn bước như trên.

Để lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai ta cần xem xét dấu của hệ số a, tính tọa độ của đỉnh và điền vào bảng thích hợp.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x2 − 2x.

Lời giải.

Ta có: a = 1, b = −2, c = 0.

Suy ra tọa độ đỉnh là I(1; −1).

Vậy bảng biến thiên là

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Vẽ đồ thị: Ta có đỉnh là I(1; −1) và trục đối xứng là x = 1.

Bảng trị giá

Ta có: đồ thị của hàm số y = x2 − 2x là

Câu 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lời giải.

Ta có: a =

, b = 2, c = −2. Suy ra tọa độ đỉnh là I(2; 0).

Vậy bảng biến thiên là

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; +∞).

Vẽ đồ thị: Ta có đỉnh là I(2; 0) và trục đối xứng là x = 2.

Bảng trị giá

Ta có: đồ thị của hàm số

là

Câu 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −3×2 + 2x − 1.

Lời giải.

Ta có: a = −3, b = 2, c = −1. Suy ra tọa độ đỉnh là

Vậy bảng biến thiên là

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng

và nghịch biến trên khoảng

Vẽ đồ thị: Ta có đỉnh là

và trục đối xứng là

Bảng trị giá

Ta có: đồ thị của hàm số y = −3×2 + 2x − 1 là

Câu 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = −x2 + 2x + 3.

b) y = −x2 + 2x − 2.

c) y = 3×2 − 2x + 1.

d) y = −3×2 + 2x − 1.

Lời giải.

a) Đồ thị

b) Đồ thị

c) Đồ thị

d) Đồ thị

Câu 1. Cho hàm số y = −x2 + 2x + 3.

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số.

b) Tìm các trị giá của x để y > 0 và y < 0.

Lời giải.

a) Đồ thị

b) Để y > 0 thì x ∈ (−1; 3) và y < 0 thì x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞).

Câu 1. Cho hàm số y = x2 − 4x + 3.

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số.

b) Tìm các trị giá của x để y > 0 và y < 0.

Lời giải.

a) Đồ thị

b) Để y > 0 thì x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞) và y < 0 thì x ∈ (1; 3).

Dạng 2. Tìm tọa độ của đỉnh và các giao điểm của parabol với các trục tọa độ. Tọa độ giao điểm giữa parabol (P) và một đường thẳng.

Phương pháp giải

+) Dựa vào các công thức cần nhớ để tìm tọa độ của đỉnh, giao điểm của parabol với các trục tọa độ. Tuy nhiên, lúc tìm tọa độ của đỉnh I thì ta chỉ cần tìm hoành độ

. Rồi sau đó thế x0 vào hàm số thuở đầu để tìm là tung độ của đỉnh I.

+) Dựa vào phương trình hoành độ giao điểm để xác định giao điểm của parabol (P) với đường thẳng.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số y = x2 − 4x + 3 có đồ thị là parabol (P). Tìm tọa độ của đỉnh, giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành.

Lời giải.

Từ đề ta có: a = 1, b = −4, c = 3. Vậy hoành độ của đỉnh I là:

Vậy đỉnh I(2; −1).

Giao điểm của (P) và trục Oy: Cho x = 0 ⇒ y = 3. Vậy (P) cắt trục Oy tại điểm A(0; 3).

Giao điểm của (P) với trục Ox: Xét phương trình: x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3.

Vậy (P) cắt trục Ox tại hai điểm B(1; 0) và C(3; 0).

Câu 1. Cho hàm số y = −x2 − 3x + 1 có đồ thị là parabol (P). Tìm tọa độ của đỉnh, giao điểm của đồ thị với trục tung và trục hoành.

Lời giải.

Từ đề ta có: a = −1, b = −3, c = 1. Vậy hoành độ của đỉnh I là:

Vậy đỉnh

.

Giao điểm của (P) và trục Oy: Cho x = 0 ⇒ y = 1. Vậy (P) cắt trục Oy tại điểm A(0; 1).

Giao điểm của (P) với trục Ox: Xét phương trình:

Vậy (P) cắt trục Ox tại hai điểm

Câu 1. Cho hàm số y = −x2 + x + 2 có đồ thị (P) và đường thẳng d: 4x + y − 3 = 0. Tìm giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng d.

Lời giải.

Đường thẳng d: y = −4x + 3. Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Vậy đồ thị (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm: A(0; 1) và B(5; 11).

Câu 1. Cho hàm số y = −x2 − x + 2 có đồ thị (P) và đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Tìm giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng d.

Lời giải.

Đường thẳng d: y = x + 3. Xét phương trình hoành độ giao điểm:

−x2 − x + 2 = x + 3

⇔ x2 + 2x + 1 = 0

⇔ x = −1 ⇒ y = 2.

Vậy (P) và d xúc tiếp với nhau tại điểm A(−1; 2).

Câu 1. Tìm tọa độ đỉnh, giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của các parabol sau:

a) y = x2 + 4x − 1.

b)

Lời giải.

a) Tọa độ đỉnh I(−2; −5); giao điểm của parabol (P) với trục tung và trục hoành tuần tự là:

b) Tọa độ đỉnh I(2; −2); giao điểm của parabol (P) với trục tung là: A(0; −4); đồ thị ko cắt trục hoành.

Câu 1. Tìm giao điểm của parabol (P) và đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) y = −x2 và y = x − 2.

b)

và y = −3x + 3.

c) y = x2 − x − 3 và y = x − 4.

d) y = x2 + 6x + 4 và y = −x + 1.

Lời giải.

a) Số giao điểm của (P) và d là số nghiệm của phương trình:

Vậy (P) và d cắt nhau tại 2 điểm A(1; −1) và B(–2; –4).

b) (P) và d ko cắt nhau.

c) (P) và d xúc tiếp với nhau tại A(1; −3).

d) (P) và d ko cắt nhau.

Câu 1. Cho parabol (P): y = x2 − 4x + 3. Dùng (P) tìm các trị giá của x để y ≤ 0.

Lời giải.

Từ hình vẽ ta có: 1 ≤ x ≤ 3.

Dạng 3. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số giao điểm của parabol (P) và đường thẳng.

Phương pháp giải

+) Sử dụng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình.

+) Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm để đưa bài toán tìm giao điểm về bài toán biện luận số nghiệm của phương trình.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho parabol (P): y = x2 − x − 2. Dùng đồ thị (P), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 – x − (m − 2) = 0.

Lời giải.

Xét phương trình: x2 – x − (m − 2) = 0 ⇔ x2 − x − 2 = m (1).

Nghiệm số của phương trình là hoành độ giao điểm của 2 đường parabol (P): y = x2 − x − 2 và đường thẳng ∆: y = m. Theo đồ thị ta có kết quả:

m <

: (∆) và (P) ko có điểm chung ⇒ phương trình (1) vô nghiệm.

m =

: (∆) xúc tiếp với (P) ⇒ phương trình (1) có nghiệm kép.

m >

: (∆) cắt (P) tại 2 điểm ⇒ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 1. Cho parabol (P): y = x(2 − x) + 3 và đường thẳng d: y = −x + m. Định m để:

a) d cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) d và (P) xúc tiếp.

c) d và (P) ko có điểm chung.

Lời giải.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

x(2 − x) + 3 = −x + m ⇔ x2 − 3x + m − 3 = 0 (1).

∆ = 9 − 4(m − 3) = −4m + 21

a) d cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

⇔ ∆ = −4m + 21 > 0 ⇔ m <

b) d và (P) xúc tiếp ⇔ phương trình (1) có nghiệm kép:

⇔ ∆ = −4m + 21 = 0 ⇔ m =

c) d và (P) ko có điểm chung ⇔ phương trình (1) vô nghiệm:

⇔ ∆ = −4m + 21 < 0 ⇔ m >

Câu 1. Cho hàm số: y = x2 − 2x − 3 có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng d: y = 4x + m. Biện luận theo m số giao điểm của d và (P).

Lời giải.

HD: Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm để đưa bài toán về biện luận theo m số nghiệm của phương trình.

Đáp số:

m > −12: d cắt (P) tại hai điểm phân biệt;

m = −12: d xúc tiếp với (P);

m < −12: d và (P) ko có điểm chung.

Câu 1. Cho parabol

và đường thẳng y = x + m. Với trị giá nào của m thì parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt?

Lời giải.

m < 1 thì parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Câu 1. Cho parabol

. Tìm trị giá của m và n để đường thẳng y = mx + n đi qua điểm (0; −1) và xúc tiếp với parabol.

Lời giải.

Đáp số:

và

Câu 1. Cho hai parabol y = −x2 + 2x + 3 và

. Tìm m để đường thẳng y = m cắt cả hai parabol.

Lời giải.

HD: Vẽ hai parabol trên 1 hệ trục tọa độ.

Đáp số: −5 ≤ m ≤ 4.

Dạng 4. Xác định hàm số bậc hai lúc biết các yếu tố liên quan.

Phương pháp giải

Ta thực hiện theo các bước sau.

Bước 1: Giả sử parabol (P): y = ax2 + bx + c với a ≠ 0.

Bước 2: Dựa vào giả thiết đề bài để xác định a, b, c.

Một số giả thiết thường gặp ở bước này và cách xử lí.

+) Parabol đi qua điểm

+) Parabol có trục đối xứng

+) Parabol có đỉnh

+) Parabol có trị giá nhỏ nhất (hoặc trị giá lớn nhất) bằng

hoặc

Bước 3: Kết luận.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Xác định parabol y = ax2 + bx + 3, biết rằng parabol đi qua hai điểm A(1; 2) và B(−2; 11).

Lời giải.

Parabol (P): y = ax2 + bx + 3 (a ≠ 0). Ta có: c = 3.

Vì (P) đi qua A(1; 2) nên 2 = a + b + 3 ⇔ a + b = −1 (1).

Vì (P) đi qua B(−2; 11) nên 11 = 4a − 2b + 3 ⇔ 4a − 2b = 8 (2).

Từ (1) và (2) ta có:

Vậy parabol (P): y = x2 − 2x + 3.

Câu 1. Cho parabol (P): y = −x2 + bx + c. Xác định b, c biết (P) đi qua điểm M(−2; 4) và có trục đối xứng x = −2.

Lời giải.

Parabol (P): y = −x2 + bx + c. Ta có: a = −1.

Vì (P) có trục đối xứng x = −2 nên

Vì M(−2; 4) ∈ (P) nên

4 = −(−2)2 + b.(−2) + c

⇔ 4 = −4 − 2b + c

⇔ −2b + c = 8.

Nhưng b = −4 nên 8 + c = 8 ⇔ c = 0.

Vậy (P): y = −x2 − 4x.

Câu 1. Cho parabol (P): y = ax2 − 2x + c. Xác định parabol (P) biết (P) có đỉnh I(1; −3).

Lời giải.

Parabol (P): y = ax2 − 2x + c. Ta có: b = −2.

Cách 1: Vì (P) có đỉnh I(1; −3) nên (P) có trục đối xứng x = 1.

Lúc đó:

Hơn nữa, vì đỉnh I(1; −3) ∈ (P) nên −3 = 1⋅12 − 2⋅1 + c ⇔ c = −2.

Vậy (P): y = x2 − 2x − 2.

Cách 2: Vì (P) có đỉnh I(1; −3) nên

Vậy (P): y = x2 − 2x − 2.

Câu 1. Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c. Xác định a, b, c biết (P) có trị giá nhỏ nhất bằng −5 và đi qua hai điểm M(1; −1), N(0; 4).

Lời giải.

Parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

Vì M(1; −1) ∈ (P) nên −1 = a + b + c (1).

Vì N(0; 4) ∈ (P) nên 4 = c (2).

Vì (P) có trị giá nhỏ nhất bằng −5 nên

Từ (1), (2) và (3), ta có:

Vậy (P1): y = x2 − 6x + 4 và (P2): y = 25×2 − 30x + 4.

Câu 1. Cho hàm số y = x2 − mx + m + 1 với m ∈ ℝ. Xác định m để đồ thị hàm số là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng y = x sao cho hoành độ đỉnh ko âm.

Lời giải.

Với trị giá m cố định, gọi I(x; y) là đỉnh của parabol (x ≥ 0).

Lúc đó:

Suy ra:

Vì đỉnh I nằm trên đường thẳng y = x nên y = x

Vì x ≥ 0 nên m ≥ 0, do đó

Câu 1. Cho parabol (P): y = ax2 + bx + 4. Xác định a, b biết:

a) (P) đi qua hai điểm M(−1; 7) và N(−4; 4).

b) (P) có trục đối xứng x = 3 và đi qua điểm A(2; −4).

c) (P) có tung độ đỉnh bằng

và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4.

Lời giải.

a) Thay tọa độ điểm M, N vào (P) ta có hệ phương trình

b) (P) có trục đối xứng x = 3 nên b = −6a.

Nhưng A(2; −4) ∈ (P) nên

−4 = 4a + 2b + 4

⇔ −8a = −8

⇔ a = 1.

Suy ra b = −6.

c) Hoành độ đỉnh

(P) cắt Ox tại điểm có tọa độ (4; 0) nên

Với b = 1 thì a =

.

Với b =

thì a = .

Câu 1. Cho parabol (P): y = −x2 + bx + c. Xác định b, c biết:

a) (P) có đỉnh I(1; 4).

b) (P) đối xứng qua trục tung và có trị giá lớn nhất bằng 3.

c) (P) có hoành độ đỉnh bằng tung độ đỉnh và đi qua gốc tọa độ O.

Lời giải.

a) Vì (P) có đỉnh I(1; 4) nên

b) Vì (P) đối xứng qua trục tung nên

Nhưng (P) có trị giá lớn nhất bằng 3 nên

b2 − 4ac = −12a ⇔ 4c = 12 ⇔ c = 3.

c) Vì (P) đi qua gốc tọa độ O nên c = 0.

Nhưng hoành độ đỉnh bằng tung độ đỉnh nên

Câu 1. Cho parabol (P): y = ax2 + 3x + c. Xác định a, c biết:

a) (P) có hoành độ đỉnh bằng −1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.

b) (P) có tung độ đỉnh gấp 2 lần hoành độ đỉnh và đi qua điểm A(1; 4).

c) (P) đạt trị giá nhỏ nhất bằng

và đi qua gốc tọa độ O.

Lời giải.

a) Vì (P) cắt trục tung tại điểm (0; 4) nên c = 4.

Nhưng (P) có hoành độ đỉnh bằng −1 nên

b) Vì A(1; 4) ∈ (P) nên

a + 3 + c = 4 ⇔ a + c = 1 ⇔ a = 1 − c (1).

Nhưng (P) có tung độ đỉnh gấp 2 lần hoành độ đỉnh nên

Thay (1) vào (2) ta có:

c) Vì O ∈ (P) nên c = 0.

Nhưng (P) đạt trị giá nhỏ nhất bằng

nên

Câu 1. Xác định parabol (P) biết:

a) (P) đi qua ba điểm A(1; 7), B(0; 5) và C(4; 1). (−x2 + 3x + 5)

b) (P) có trục đối xứng x = 3 và đi qua hai điểm M(−1; 0), N(0; 7).

c) (P) có đỉnh nằm trên trục hoành và đi qua hai điểm H(−2; 1), K(0; 9).

Lời giải.

a) (P) đi qua ba điểm A(1; 7), B(0; 5) và C(4; 1) nên ta có hệ phương trình:

b) (P) có trục đối xứng x = 3 nên b = −6a.

Nhưng (P) đi qua hai điểm M(−1; 0), N(0; 7) nên

Suy ra: b = 6.

c) Vì (P) có đỉnh nằm trên trục hoành nên

Nhưng (P) đi qua H(−2; 1), K(0; 9) nên

Do đó ta có:

Câu 1. Cho parabol (P): y = ax2 − 2ax + 2a với (a ≠ 0). Xác định a để (P) có đỉnh nằm trên đường thẳng 2x − y = 0.

Lời giải.

(P) có đỉnh I(1; a).

Vì I nằm trên đường thẳng 2x − y = 0 nên 2 − a = 0 ⇔ a = 2.

Câu 1. Xác định parabol (P) biết (P) có đỉnh I cách đều hai trục tọa độ, đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và nhận x =

làm trục đối xứng.

Lời giải.

Giả sử (P): y = ax2 + bx + c với a ≠ 0.

Vì (P) đi qua điểm O nên c = 0.

Vì (P) nhận x =

làm trục đối xứng nên

Vì (P) cách đều hai trục tọa độ nên

Với b = 2 thì a = −2, với b = −2 thì a = 2.

Câu 1. Xác định parabol (P) biết (P) đi qua điểm A(0; 1) và có đỉnh I thuộc đường thẳng x + y − 3 = 0 sao cho độ dài đoạn IM ngắn nhất, biết M(−1; 3).

Lời giải.

Giả sử (P): y = ax2 + bx + c với a ≠ 0.

Gọi I(x; y) là đỉnh của parabol.

Vì I thuộc đường thẳng x + y − 3 = 0 nên y = 3 − x. Do đó:

Vì

với mọi x ∈ ℝ, nên IM ngắn nhất lúc x = .

Suy ra y =

. Nên (P) có đỉnh

Vì A(0; 1) ∈ (P) nên c = 1. Hơn nữa ta có:

Dạng 5. Các bài toán liên quan đồ thị hàm số trị tuyệt đối của một hàm bậc hai

Phương pháp giải

Xét hàm số y = |ax2 + bx + c| có đồ thị là (P1). Quan tâm rằng:

nên để vẽ (P1), ta làm như sau.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = ax2 + bx + c.

b) Giữ nguyên phần của (P) nhưng ở phía trên trục hoành.

c) Lấy đối xứng qua trục hoành đối với phần của (P) nhưng ở dưới trục hoành (sau đó bỏ đi phần của (P) nhưng ở dưới trục hoành).

Bài tập vận dụng

Câu 1. Biện luận theo thông số m số nghiệm của phương trình |x2 − 4x + 3| = m.

Lời giải.

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x2 − 4x + 3| với đường thẳng (nằm ngang) y = m.

Ta vẽ (P): y = x2 − 4x + 3 (Hình 1).

Từ đó, ta suy ra đồ thị (P1) của hàm số y = |x2 − 4x + 3| (Hình 2).

Từ đồ thị (P2), ta có: kết luận như sau.

+) m < 0: phương trình vô nghiệm.

+) m = 0 hoặc m > 1: hai nghiệm.

+) 0 < m < 1: 4 nghiệm.

+) m = 1: 3 nghiệm.

Câu 1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình |x2 + 3x| = m.

Lời giải.

Giải tương tự ví dụ trên.

Đáp số:

+) m < 0: phương trình vô nghiệm.

+) m = 0 hoặc m >

: hai nghiệm.

+) 0 < m <

: 4 nghiệm.

+) m =

: 3 nghiệm.

Dạng 6. Các bài toán liên quan đồ thị hàm số đối với trị tuyệt đối của biến

Phương pháp giải

Xét hàm số y = ax2 + b|x| + c. Lúc x ≥ 0 hoặc x ≤ 0, hàm số trở thành hàm số bậc hai. Hơn nữa, hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng.

Do đó, ta có thể vẽ đồ thị (P2) của hàm số y = ax2 + b|x| + c như sau.

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = ax2 + bx + c.

b) Bỏ phần của (P) ở bên trái trục tung. Sau đó lấy đối xứng qua trục tung đối với phần của (P) nhưng ở bên phải trục tung.

Xem xét: Ta có: thể vẽ đồ thị hàm số y = ax2 + b|x| + c từ đồ thị hàm số y = ax2 – bx + c.

Bài tập vận dụng

Câu 1.

a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 − 4x + 3.

b) Tìm m để phương trình x2 − 4|x| + 3 = m có 4 nghiệm phân biệt.

Lời giải.

a) Xem hình 1.

b) Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lúc và chỉ lúc đồ thị hàm số y = x2 − 4|x| + 3 và đường thẳng y = m.

Từ đồ thị hàm số y = x2 − 4x + 3 ở câu a), ta suy ra đồ thị của hàm số y = x2 − 4|x| + 3 như ở hình 2.

Từ đó, ta suy ra tất cả các trị giá m thỏa mãn yêu cầu bài toán là −1 < m < 3.

Câu 1. Tìm m để phương trình 2×2 − |x| = m có đúng 3 nghiệm.

Lời giải.

Giải tương tự ví dụ trên.

Đáp số: m = 0

Câu 1. Hỏi phương trình |2×2 − |x|| = m có tối đa bao nhiêu nghiệm?

Lời giải.

Ta vẽ đồ thị hàm số y = |2×2 − |x||.

Trước hết, vẽ đồ thị hàm số y = 2×2 − x (hình 5), rồi suy ra đồ thị hàm số y = 2×2 − |x| (hình 6)

Từ đó, vẽ được đồ thị hàm số y = |2×2 − |x|| (hình 7).

Vậy phương trình đã cho có tối đa 6 nghiệm.

Dạng 7. Tính đơn điệu của hàm bậc hai

Phương pháp giải

Sự biến thiên của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

+) Tập xác định: D = ℝ.

+) Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng

và đồng biến (tăng) trên khoảng .

Bảng biến thiên

+) Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng

và nghịch biến (giảm) trên khoảng .

Bảng biến thiên

Bài tập vận dụng

Câu 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x2 − 2x + 3.

Lời giải.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có:

và

Do a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Bảng biến thiên

Câu 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y = −x2 + 2x − 3.

Lời giải.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có:

Do a = −1 < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Câu 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y = x2 + 2|x|.

Lời giải.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có:

Mặt khác, hàm số y = x2 − 2x nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞), hàm số y = x2 + 2x nghịch biến trên (−∞; −1) và đồng biến trên khoảng (−1; +∞).

Từ đó suy ra hàm số y = x2 + 2|x| nghịch biến lúc x < 0 và đồng biến lúc x ≥ 0.

Câu 1. Tìm tât cả các trị giá của thông số m để hàm số y = x2 + (m − 3)x + m đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Lời giải.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có:

Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) lúc và chỉ lúc

Vậy m ≥ 1.

Câu 1. Cho hàm số y = (m − 1)x2 + 4x − 5 với m ≠ 1. Tìm m sao cho hàm số đồng biến trên (1; 7).

Lời giải.

+) Với m > 1 thì hàm số đồng biến trên khoảng

.

Vậy, để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 7) thì

Liên kết điều kiện ta được m > 1.

+) Với m < 1 thì hàm số đồng biến trên khoảng

.

Vậy, để hàm số đồng biến trên (1; 7) thì

Tóm lại

Câu 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x2 − 6x − 5.

Lời giải.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 3) và đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Câu 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y = −x2 + 2017.

Lời giải.

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Câu 1. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = x|x − 2|.

Lời giải.

Ta có:

Mặt khác, hàm số y = −x2 + 2x đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞), hàm số y = x2 − 2x nghịch biến trên (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Từ đó suy ra:

+) Hàm số y = x|x − 2| đồng biến trên các khoảng (−∞; 1), [2; +∞).

+) Hàm số y = x|x − 2| nghịch biến trên các khoảng (1; 2).

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x2 + (2m − 3)x + 1 đồng biến trên khoảng (−∞; −5).

Lời giải.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có:

Do a = −1 < 0, nên để hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −5) khi và chỉ khi

Vậy m ≥

.

Câu 1. Cho hàm số y = (m − 1)x2 + 4x − 5 với m ≠ 1. Tìm m sao cho hàm số nghịch biến trên (−5; 2).

Lời giải.

+) Với m < 1 thì hàm số nghịch biến trên khoảng

.

Vậy, để hàm số nghịch biến trên khoảng (−5; 2) thì

, điều này mâu thuẫn với điều kiện.

+) Với m > 1 thì hàm số nghịch biến trên khoảng thì

.

Vậy, để hàm số nghịch biến trên (−5; 2) thì

, điều này mâu thuẫn với điều kiện.

Vậy không tồn tại giá trị của m.

Câu 1. Cho hàm số

. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = m.

Lời giải.

Dựa vào hình vẽ ta có:

+) m ≤ −1: phương trình có 1 nghiệm;

+) m > −1: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 1. Cho hàm số y = x2 − 2mx + m2 − 1 có đồ thị là (Cm). Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt xx’ tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

Lời giải.

Để (Cm) luôn cắt Ox tại 2 điểm phân biệt thì ∆ > 0, ∀m.

Để A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O thì m = 0.

Câu 1. Cho hàm số y = x2 − 4mx + 4m + 3 (Pm) với m ∈ ℝ. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ∆: y = x − 1 và đi qua điểm cố định của họ parabol (Pm).

Lời giải.

Gọi M(x; y) là điểm cố định mà họ parabol (Pm) luôn đi qua.

Khi đó:

,với mọi m.

Suy ra:

, với mọi m.

Nên

Vậy M(1; 4)

Vì d vuông góc với đường thẳng ∆: y = x − 1 nên d: y = −x + b, với b ≠ −1.

Mà M(1; 4) ∈ d nên 4 = −1 + b ⇔ b = 5.

Vậy d: y = −x + 5.

Câu 1. Cho hàm số y = x2 − (m − 1)x + m − 2 (Pm) với m ∈ ℝ. Tìm tất cả các giá trị của m để khoảng cách từ đỉnh của (Pm) đến trục hoành bằng

.

Lời giải.

Với m tùy ý, gọi I(x; y) là đỉnh của (Pm).

Khi đó khoảng cách từ đỉnh của (Pm) đến trục hoành bằng

Theo giả thiết:

Câu 1.

a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 + 4x + 3.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2 − 4|x| + 3 = m.

Lời giải.

Gợi ý câu b). Ở bên trái trục tung, đồ thị hàm số y = x2 − 4|x| + 3 cũng chính là đồ thị của hàm số y = x2 + 4x + 3.

Hơn nữa, đồ thị hàm số y = x2 − 4|x| + 3 nhận trục tung làm trục đối xứng.

Câu 1. Tìm m để phương trình x|x − 1| = m có đúng 2 nghiệm.

Lời giải.

Số nghiệm của phương trình bằng với số giao điểm của đồ thị hàm số y = x|x − 2| + 1 và đường thẳng y = m.

Đồ thị hàm số y = x|x − 1| bao gồm hai phần: phần của parabol y = x(x − 2) + 1 với x ≥ 2, và phần của parabol y = x(2 − x) + 1 với x ≤ 2 (đường nét liền trong hình 8).

Từ đó, ta suy ra giá trị m phải tìm là m = 1 hoặc m = 2.

[rule_{ruleNumber}]

#Hàm #số #bậc #Lý #thuyết #cách #vẽ #đồ #thị #và #dạng #toán #thường #gặp

Bạn thấy bài viết Hàm số bậc 2: Lý thuyết, cách vẽ đồ thị và dạng toán thường gặp có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Hàm số bậc 2: Lý thuyết, cách vẽ đồ thị và dạng toán thường gặp bên dưới để Trường THCS – THPT Âu Lạc có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: aulacschool.vn của Trường THCS – THPT Âu Lạc

Nhớ để nguồn: Hàm số bậc 2: Lý thuyết, cách vẽ đồ thị và dạng toán thường gặp