Argument của số phức là gì?

Đáp án và lời giải đúng cho câu hỏi: “Thế nào là đối số của số phức?” Cùng với lượng kiến ​​thức sâu rộng được Top giải Toán 12 biên soạn là tài liệu học tập hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh tham khảo.

Thế nào là đối số của số phức?

– Trong các sách khác nhau, định nghĩa về đối số của số phức có thể khác nhau. Nguyên nhân là khi ta quay điểm biểu diễn số phức quanh gốc 1 vòng thì giá trị của số phức không thay đổi. Nếu có sự khác biệt về khái niệm đối số của số phức thì cũng không có gì ngạc nhiên.

– Giả sử M(z) là điểm biểu diễn số phức z. Số phức z(z≠0) (ký hiệu: Arg(z) chữ A) là góc có hướng giữa chiều dương của trục thực và tia OM(z) thỏa mãn -π.

– Rõ ràng nếu z=a+bi (a,b∈R) thì Arg(z)=Arctan(b/a).

Kiến thức tham khảo về số phức.

1. Đối số của số phức

– Trong mặt phẳng phức, cho số phức z ≠ 0 được biểu diễn bởi véc tơ OM với M(a ; b).

– Véc tơ góc lượng giác Ox, véc tơ OM = φ + k2π, k ∈ Z. Số đo của mỗi góc lượng giác trên gọi là một lũy của z.

– Gọi φ là một số nguyên và r > 0 là môđun của số phức z = a + bi khác 0 thì dạng lượng giác của z là:

z = r(acosφ + isinφ)

Thế nào là đối số của số phức?  (ảnh 2)

– Ghi chú:

+ φ là một lũy của số phức z, các lũy khác của z là φ + k7π (k ∈ Z).

+ |z| = 1 ⇔ z = cosφ + isinφ, (φ ∈ R).

+ z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng lũy ​​thừa của z không xác định hoặc tùy ý.

2. Cách chuyển số phức từ đại số sang lượng giác

– Để biến z từ dạng z = a+bi thành z= r( cosφ +isinφ), trước tiên ta cần tìm môđun và phần đối số của số phức.

– Trước hết ta cần xác định đẳng thức bằng cách cho a +bi = r( cosφ +isinφ)

– Sau khi biến đổi ta được kết quả sau: {r=a2+b2 a= rcosφ, b= rsinφ suy ra: {r=a2+b2,cosφ= ar, sinφ= br= ba2+b2 = aa2+b2

– Với phương pháp này các em có thể chuyển số phức sang góc một cách dễ dàng.

3. Phép nhân, phép chia số phức dưới dạng lượng giác.

một. Nhân hai số lượng giác phức

– Cho hai số phức dạng lượng giác z1 = r1(cosφ1 + isinφ1 ) và z2 = r2(cosφ2 + isinφ2 ). Khi đó z = z1z2 được cho bởi công thức:

Thế nào là đối số của số phức?  (ảnh 3)

– Từ đó ta có số phức z = z1 z2 có môđun và a số thỏa mãn r = r1 r2 và φ = φ1 + φ2.

b. Chia hai số lượng giác phức

– Cho hai số phức dưới dạng lượng giác: z1 = r1(cosφ1+isinφ1 ) và z2 = r2(cosφ2 + isinφ2 ). Khi đó số phức:

Thế nào là đối số của số phức?  (ảnh 4)

được cho bởi công thức:

Thế nào là đối số của số phức?  (ảnh 5)

Từ đó ta có số phức:

Thế nào là đối số của số phức?  (ảnh 6)

– Luỹ thừa tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).

Thế nào là đối số của số phức?  (ảnh 7)

– Khai báo nghiệm của số phức dưới dạng lượng giác.

– Mọi số phức khác 0 z có đúng n căn bậc hai là các số có dạng

Thế nào là đối số của số phức?  (ảnh 8)

4. Môđun của số phức

– Mô đun (tiếng Anh: modulus hoặc tuyệt đối) của số phức z=a+bi (a,b∈R) là căn bậc hai số học (hoặc căn bậc hai không âm) của a²+b². Ví dụ: 3+4i có 3²+4²=25, vì vậy mô đun của 3+4i là 5. Chúng ta cũng biểu thị mô đun của z=a+bi là |z| hoặc |a+bi|. Lưu ý rằng số thực cũng là số phức. Ta cũng dễ dàng thấy rằng giá trị tuyệt đối của một số thực cũng chính là môđun của số thực đó. Do đó, đôi khi chúng ta cũng gọi mô đun của một số phức là giá trị tuyệt đối của một số phức.

Thế nào là đối số của số phức?  (ảnh 9)

– Ví dụ

Thế nào là đối số của số phức?  (Hình 10)

– Về mặt hình học, mỗi số phức z=a+bi(a,b∈R) được biểu diễn bởi một điểm M(z)=(a;b) trên mặt phẳng Oxy và ngược lại. Khi đó mô đun của z được biểu diễn bằng độ dài của đoạn thẳng OM(z). Rõ ràng, môđun của z là một số thực không âm và nó chỉ bằng 0 khi z=0.

Thế nào là đối số của số phức?  (Hình 11)

* Tính chất môđun của số phức

Với modul của số phức, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau:

Hai số phức đối nhau có cùng môđun. Đó là |z|=|-z|.

Hai số phức liên hợp có cùng mô đun. Đó là |a+bi|=|a-bi|.

+ Môđun của z bằng 0 khi và chỉ khi z=0.

Tích của hai số phức liên hợp bằng bình phương mô đun của chúng

Thế nào là đối số của số phức?  (Hình 12)

+ Mô đun của một sản phẩm là tích của các mô đun

Thế nào là đối số của số phức?  (Hình 13)

+ Môđun của một thương bằng thương của môđun

Thế nào là đối số của số phức?  (ảnh 14)

5. Số phức liên hợp

– Có thể thấy, số phức liên hợp là gì là câu hỏi được nhiều bạn học sinh khá quan tâm. Sau đây là những kiến ​​thức cụ thể về thế nào là số phức liên hợp.

– Như ta đã biết, số phức là một biểu thức có dạng a+ bi với i2 = -1 . Đây là những số thực và được ký hiệu dưới Z= a+bi, . Vậy số phức liên hợp là gì? Z=a-bi được gọi là số phức liên hợp

Một số tính chất của số phức liên hợp

Thế nào là đối số của số phức?  (Hình 15)

6. Tìm căn bậc n của một số phức

* Khái niệm về căn bậc n:

– Cho số phức z, số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu wn = z.

– Để tìm căn bậc n của số phức z ta cần giả sử số phức z đã cho là z = r(cosφ + isinφ) và số phức w là w = r'(cosφ’ + isinφ’) Khi đó điều kiện wn = z tương đương với: ⌈r'(cosφ’ + isinφ’) ⌉n = r(cosφ + isinφ).

– Tiếp tục biến đổi theo công thức lượng giác ta sẽ tìm được căn bậc n của số phức z.

Nhớ để nguồn bài viết: Argument của số phức là gì? của website Trường THCS – THPT Âu Lạc

Xem thêm bài viết hay:  Bình luận là gì? Thao tác lập luận là gì?

Viết một bình luận